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Acta Nova
On-line version ISSN 1683-0789
RevActaNova. vol.8 no.4 Cochabamba Sept. 2018
Artículo Científico
Un operador de Sheffer en la Lógica IGRP
A Sheffer operator in IGRP-Logic
Oscar R. Pino Ortiz
Universidad Católica Boliviana, Cochabamba, Bolivia Los Nogales 2030 Cbba
Recibido: mayo 2018
Aceptado: agosto 2018
Resumen: Una vez explicitado el nexo entre los operadores de una lógica p-multivaluada (p primo) y el anillo de polinomios Zp[x,y], se demuestra de forma algébrica que la lógica a p valores IGRp admite como operador de tipo Sheffer al operador correspondiente del polinomio
Palabras clave: Lógica, Multivaluada, Sheffer, IGRp
Abstract: Defined a functor from a p-multivalued logic (p prime) and the polynomial ring Zp[x,y], it is demonstrate by algebraic arguments the existence of a Sheffer operator in the p-valued logic IGRP. The polynomial associated to that operator is:
Key words: Logic, Multivalued, Sheffer, IGRp
1 Introducción
En un artículo anterior [7] tuvimos la ocasión de establecer la existencia de un functor natural entre los operadores lógicos L(p) de IGRP y los polinomios del anillo Zp [x;y]. Así mismo pudimos construir un operador de tipo Sheffer para la lógica IGR3. En el este artículo presentamos la demostración de la existencia de un operador de tipo Sheffer para la lógica p-valuada (con p primo) IGRP. Lo interesante de esta demostración es que mejora en sencillez y naturalidad la propuesta por Emil Post.
El primer resultado mencionado nos permitirá establecer un nexo entre L(p) y el anillo de matrices cuadradas Mp[Zp].
2 Observación
Todo polinomio de Zp[x;y] determina los valores que toma y está totalmente determinado por los mismos. Es decir, existe una biyección natural entre Zp[x;y] y el anillo Mp[Zp].
En efecto, los valores que el polinomio r toma, forman la matriz Mr cuyo coeficiente mk+1,l+1 no es sino r(k;l) con k,l {0;...;p-1}.
Obviamente la resolución del sistema
permite reencontrar los coeficientes aij del polinomio r.
3 Objetivo
Nuestro objetivo será el de mostrar que con el polinomio
podemos construir todos los polinomios de Zp [x;y] o, lo que es lo mismo, todas las matrices de Mp[Zp].
4 Estudio de [x; y]
Definamos, por comodidad:
Entonces
Proposición 1
Si a y b Zp, las propiedades de son las siguientes:
1.
2. es asociativa
3. es conmutativa
4. es idempotente
En efecto:
1.
a) Si a = b entonces
b) Si a ≠ b entonces
Como (a - b) ≠ 0 entonces a b = 0
2. Como la asociatividad es evidente.
3. La conmutatividad a b = b a es evidente
4. La idempotencia a a = a se mostró en 1.
Corolario 1
Si r,s Zp[x] entonces
Corolario 2
induce, sobre el anillo Mp[Zp], una operación asociativa, conmutativa e idempotente
definida por
Corolario 3
Mostrar que el operador asociado al polinomio [x;y] = 1 + x y es un operador de tipo Sheffer, es equivalente a mostrar que con el operador inducido:
donde a es la matriz cuyos coeficientes son todos iguales a a y + es la suma habitual, podemos construir todas las matrices de Mp[Zp], y esto a partir de las matrices asociadas a los polinomios x y y.
Teorema 1
El operador matricial [M;N] = 1 + M&N es tal que con él podemos construir todas las matrices de Mp[Zp], a partir de las matrices
Demostración
Notemos que Mx y My son las matrices de valores de los polinomios x y y. Por un cálculo sencillo vemos que:
Por lo tanto a es construible a partir de Mx.
Ahora bien, observamos que:
y también que
resultado que interpretamos de la siguiente manera:
"[M;N] es construible si y sólo si M&N lo es"
Definición
Llamamos "descomposición numérica" de M al conjunto de matrices resultantes de efectuar las operaciones a&M para todo a {0; 1; 2; ...; p - 1}.
Afirmación 1
Las matrices a&M son construibles por medio de & a partir de Mx y My.
Prueba
Como a + Mx es construible, b + My y c, tenemos que
es construible. La matriz resultante tiene una de sus entradas igual a c y todas las otras igual a 0. Efectivamente Mx tiene una sola columna (la columna de índice c - a + 1), con coeficientes iguales a c - a, por lo tanto a + Mx tiene una sola columna con coeficientes iguales a c. De idéntica manera My tiene una sola fila (la fila de índice c - b + 1) con coeficientes iguales a c - b, por lo tanto b + My tiene una sola fila con coeficientes iguales a c. Así pues (a + Mx)&(b+ My) tiene una sola entrada (intersección de la columna con la fila) igual a c. Finalmente al efectuar &c, todos los otros coeficientes serán 0.
Además las matrices (a + Mx)&(b + My)&c y (a' + Mx)&(b' + My)&c' son iguales si y sólo si a = a', b = b' y c = c', por lo que deducimos que el conjunto:
contiene todas las matrices que tienen c en sólo una de sus entradas y 0 en las otras. De este modo vemos que todas ellas son construibles, puesto que se las puede obtener a partir operando con & ciertas matrices construibles.
Afirmación 2
Las matrices cuyos coeficientes son ó 0 ó c son construibles.
Prueba
Llamemos C(i;j) a la matriz que tiene en la entrada (i;j) el valor c y 0 en todas las otras. Ya sabemos que C(i;j) es construible.
Consideremos ahora la matriz C'(i;j) = (p - c) + C(i;j). Se trata de la matriz que tiene 0 en la entrada (i;j) y p - c en las otras. Si según conveniencia, tomamos una sucesión de estas matrices
Y las combinamos
Obtenemos una matriz cuyos coeficientes son 0 para os índices indicados y p - c para el resto.
Por consiguiente la matriz
Es la matriz con el valor c en las entradas indicadas y 0 en las otras. Queda demostrado que las matrices cuyos coeficientes son o bien c o bien 0 son construibles.
Afirmación 3
Si tenemos la descomposición numérica de M, podemos reconstruir M mediante &.
Prueba
Si la descomposición numérica de M consiste en sólo la matriz nula, no hay nada que demostrar pues ello significa que M = 0 y 0 es construible.
Si no es así, sean a1&M, a2&M, a3&M,..., am&M las matrices de la descomposición numérica de M donde ak {0; 1;..; p - 1} remuneradas luego de haber excluido los casos en los que se obtiene la matriz nula.
Observamos que
Vamos a mostrar, por inducción sobre m, que M es construible:
1. Para todo b Zp tenemos que b&M es construible. Por lo tanto si m = 1, está demostrado.
2. Supongamos que cualesquiera que sean b1, b2, b3, ...,bk Zp, con b¡ ≠ bj si i ≠ j, tenemos que b1&M + b2&M +...+bk&M es construible. Sea bk+1 diferente a los anteriores. Vamos a mostrar que
es construible.
Notemos Mk = b1&M + b2&M + ... + bk&M
Notemos = b1 - bk+1&M + b2 - bk+1&M + ... + bk - bk+1&M
Por hipótesis de inducción es construible.
Consideremos bk+1 + . Esta matriz tiene b¡ donde tenía b¡ - bk-1 para i {1,..., k} y tiene bk+1 donde tenía 0.
Seguidamente notemos
Por hipótesis de inducción es construible.
Seguidamente consideremos bk + . Esta matriz tiene b¡ donde tenía bi - bk para i {1,..., k - 1, k + 1} y tiene bk donde tenía 0.
Finalmente la matriz
es tal que tiene b¡ donde tenía b¡ para i {1,..., k} , tiene bk+1 donde tenía bk+1 y tiene 0 donde ambas tenían 0 simultáneamente. Es decir:
con lo queda demostrado que M es construible.
5 Conclusión
El operador lógico de la lógica IGRp, correspondiente al polinomio
de Zp [x;y], es de tipo Sheffer.
Referencias Bibliográficas
[1] Guzmán de Rojas, I. (2007). Logica Aymara y Futurología. La Paz: Editorial Santín. [ Links ]
[2] Stojmenovic I., (1988). On Sheffer symmetric functions in three valued logic. Discrete Applied Mathematics 22, North-Holland.
[3] Foxley E., (1962) The determination of all Sheffer funtions in 3-valued logic, using a logical computer. Notre Dame Journal of Formal Logic, Volume III, Number 1. Nottingham, England.
[4] J J O'Connor & E F Robertson (2001). Emil Leon Post. Mac tutor: History of mathematics. Recuperado de http://www.history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Post.html. [ Links ]
[5] Pino O., Morales Z. (2015) Un operador de Sheffer en la Lógica IGR3. Acta Nova, Vol 7, Nº1. Cochabamba, Bolivia. http://www.academia.edu/1399119/Basic_many-valued_logic.